Onwaarschijnlijke werkelijkheid?!

Bestaat toeval? Volgens sommigen wel. Is dat een subjectieve gedachte? Antwoord: "Ja". Kunnen we toeval wellicht concretiseren? Het zal u misschien verbazen, maar dat kan inderdaad! Hiertoe een klein voorbeeld. Een (normaal) jaar heeft 365 dagen. Als we absoluut zeker willen zijn dat van een groep mensen er twee op dezelfde dag jarig zijn, moet de groep uit minimaal 366 personen bestaan. Helder!

Laten we de absolute zekerheid nu eens afzwakken tot 50% zekerheid. Uit hoeveel personen moet de groep dan bestaan? De helft, 183 personen, zullen velen meteen roepen. Het verrassende antwoord is echter dat de groep uit slechts 23 hoeft te bestaan!

Voor degenen die dit niet op mijn woord willen geloven, volgt hier een korte uitleg. Het aantal manieren waarop 23 willekeurige data kunnen worden gekozen is 365 tot de macht 23 (36523). Van al deze mogelijkheden zijn er 365 * 364 * ... * 344 * 343 zodanig dat hierin niet twee keer dezelfde datum voorkomt. De kans dat twee personen niet op dezelfde datum verjaren, is het quotiŽnt van het laatste en het eerste product. De kans dat twee personen wel op dezelfde datum verjaren, is het complement, oftewel 1 min het bovengenoemde quotiŽnt (en dit levert dus 0,5 op).

Laten we het nog iets verder uitbreiden. De bewering dat twee personen uit een groep van 23 op een bepaalde datum, laten we zeggen 27 februari, jarig zijn, is 50%, is echter niet waar. De groep moet dan vele malen groter zijn, namelijk 253 personen!

Hier weer een korte uitleg voor de ongelovigen. De kans dat iemand niet op 27 februari jarig is, is 364/365. De kans dat N personen niet op 27 februari jarig zijn, is dan (364/365)N. Het complement, dus de kans dat iemand wel op 27 februari jarig is, is 1-(364/365)N. Dit geeft 0,5 (oftewel 50%) als N gelijk is aan 253 personen!

De moraal van het verhaal is dat een willekeurige gebeurtenis met een grote waarschijnlijkheid (kans) gebeurt en een niet-willekeurige, dus expliciete, gebeurtenis met een geringe waarschijnlijkheid. Met andere woorden, als iemand aan het begin van het seizoen aan mij had gevraagd of Voerendaal 2 dit jaar een wedstrijd zou verliezen had ik uiteraard "ja" geantwoord. Had iemand tegen me gezegd, jullie gaan op 27 februari van GESS verliezen, had ik hem helemaal gek verklaard, een ambulance gebeld en hem laten afvoeren naar het dichtst bij zijnde gesticht.

Marco, 02-03-2005